高中数学必修一典型例题分析之数列
高中数学必修一典型例题分析之数列
对于即将升入高中的同学来说，高中数学是一个让人比较头疼的科目，下面是小编为大家整理的高中数学必修一数列经典例题及解析，希望能对大家有所帮助。
高中数学必修一数列经典例题
【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数?
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d=7，an=98.
代入an=a1+(n-1)d中，有
98=7+(n-1)·7
解得n=14
答 100以内有14个能被7整除的自然数.
【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列.
解 设这五个数组成的等差数列为{an}
由已知：a1=-1，a5=7
∴7=-1+(5-1)d 解出d=2
所求数列为：-1，1，3，5，7.
插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项.
【例3】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?
解 设an=3n，bm=4m-3，n，m∈N
得n=4k-1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn=12n-3(n∈N).
则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12-3，85·12-3，…，166·12-3
∴n=166-84+1=83 ∴共有83个数.
高中数学必修一数列经典例题
【例4】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.
解 设三个数分别为x-d，x，x+d.
解得x=5，d=±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.
【例5】 已知a、b、c成等差数列，求证：b+c，c+a，a+b也成等差数列.
证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a+c
∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c
=a+(a+c)+c
=2(a+c)
∴b+c、c+a、a+b成等差数列.
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b=a+c的形式去运用;反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a+c.本例的意图即在让读者体会这一点.
可能是等差数列.
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法.
证 假设a、b、c是等差数列，则2b=a+c
∴2ac=b(a+c)=2b2，b2=ac.
又∵ a、b、c不为0，
∴ a、b、c为等比数列，
又∴ a、b、c为等差数列，
∴ a、b、c为常数列，与a=?b矛盾，
∴ 假设是错误的.
∴ a、b、c不可能成等差数列.
高中数学必修一数列经典例题
【例6】 解答下列各题：
(1)已知等差数列{an}，an=?0，公差d=?0，求证：
①对任意k∈N，关于x的方程
akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;
分析与解答
(1)akx2+2ak+1x+ak+2=0
∵{an}为等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2
∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0
∴(akx+ak+2)(x+1)=0，ak=?0
∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数
(2)由条件得 2b=a+c
∴4RsinB=2RsinA+2RsinC，2sinB=sinA+sinC
分析至此，变形目标需明确，即要证
由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
【例7】 若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：
证明 设该数列的公差为d，则
a1-a2=a2-a3=…=an-an+1=-d
∴a1-an+1=-nd
∴ 原等式成立.
高中数学必修一数列经典例题
【例8】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn=pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}.
[ ]
A.是等比数列
B.当p=?0时是等比数列
C.当p=?0，p=?1时是等比数列
D.不是等比数列
分析 由Sn=pn(n∈N*)，有a1=S1=p，并且当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=pnpn-1=(p-1)pn-1
但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D.
说明 数列{an}成等比数列的必要条件是an=?0(n∈N*)，还要注
【例9】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n.
解 ∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q
∴2=1·q2n+1
x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n
式;(2)已知a3·a4·a5=8，求a2a3a4a5a6的值.
∴a4=2
【例10】 已知a>0，b>0且a=?b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求
证明 设这n+2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1
高中数学必修一数列经典例题
【例11】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.
证法一 ∵a、b、c、d成等比数列
∴b2=ac，c2=bd，ad=bc
∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2
=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)
=a2-2ad+d2
=(a-d)2=右边
证毕.
证法二 ∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：
b=aq，c=aq2，d=aq3
∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2
=a2-2a2q3+a2q6
=(a-aq3)2
=(a-d)2=右边
证毕.
说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子.证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的.证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性.
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